* Test médical et fiabilité

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une maladie touche \(2\; \%\) de la population mondiale. Un laboratoire pharmaceutique conçoit un test pour diagnostiquer cette maladie. Différentes études sur la fiabilité du test donnent les résultats suivants :

• pratiqué sur une personne malade, le test est positif dans \(95\; \%\) des cas ;
  
• pratiqué sur une personne non malade, le test est positif dans \(4\; \%\) des cas.
  

On choisit une personne au hasard dans la population. On note :

• \(\text{M}\) l’événement : « la personne est malade »
  
• \(\text{T}\) l’événement : « le test est positif »
  

Si nécessaire, les résultats des calculs seront arrondis à \(10^{−3}\).

1. À l’aide des informations de l’énoncé, donner les probabilités \(P(\text{M})\) et \(P_\text{M}(\text{T})\).
2. Montrer que \(P(\text{T})\approx0{,}058\).
3. Les événements \(\text{M}\) et \(\text{T}\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Un service hospitalier de dépistage effectue \(130\) tests par jour. On admet que la probabilité qu’un test soit positif est égale à \(0{,}06\). 
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de tests positifs par jour. On admet que \(X\) suit une loi binomiale.

4. Donner les paramètres de cette loi.
5. Calculer l’espérance de \(X\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.